全人類にMT車を持たせてくださいお願いします
日本許すまじ
日本って国、マジで良くないと思いませんか?
これを見て「お、政治的な話か?」と思ったかもしれませんが、もちろんそんな事はありません。ネットで政治の話はしたくないので。じゃあどういうことかって?
とりあえずヒントとしては、アメリカって国も良くないってことです。最近はヨーロッパにもそういう風潮が広まってるらしいですね。誠に良くない。もう信頼できる国って言えば発展途上国とかだけ、なんですかね。
いや、だから何の話だよって?
車の話に決まってんだろ!!!
マジで良くないよ。みんなさあ、なんでAT車ばっかり選んじゃうの?
車と言ったらやっぱりMTでしょ。
最近は(もういうほど最近でもなくなってきた)、AT限定免許っていうのもできたらしくて、免許持っててもMTの運転方法を知らない、資格的にできないっていう人もだいぶ増えてきました。
マジで損してますよ。今から免許取ろうとしてる人は、絶対にMTで取ったほうがいいです。めちゃくちゃに楽しいんで。
アレはもう薬物です。去年自動車学校に通ってた頃は、毎日がとても楽しい日々でした。MT車をあんなに運転できるなんて……。
親はもちろん2人ともAT(正確にはCVT)しか持ってないし、レンタカーも特殊な店舗を除きAT(ほとんどはCVT)しか扱ってないし……。もちろん学生が車を持つなんて不可能(不可能ではないですが、コンテンツに金を落としたり、親の負担を軽減したいとか思うとマジで無理)ですし、それも京都とか車がなくても生活できるところは特に。
生きにくいです。
まあ自分で稼ぐようになったら、絶対にMT買って乗り回してやるぞ!
これが僕の思いです、はい。
こんなこと言っといてなんですが、免許取得に消極的、MTを運転してみたいなんて露にも思わない人は、もし取るとしてもAT限定にしといたほうがいいです。取得時間も、取得に必要な金額も減るので。時間、大事ですからね。
ただ、「少しでもMTを運転してみたい!」、「運転、楽しみだなあ」って人にはMTをおすすめします。
僕も最初は、「MTなんてどうせ乗らんけど、人生に1度くらいはMT運転しときたいな~」程度だったんで。
実際自動車学校に通い始めて沼にハマりました。マジで人生狂わされました。
でもそこまでディスアドがないので、ハマり得です!(ただ運転変わってくれる人が減ったり、選べる車種が減ったりします)
ただ、僕の身の回りの人げなら、僕は好んで運転変わるので気にしないでください。
はい、ここまでが無駄に長い前置きです。では本題に入りたいと思います。
エネルギーと質量の等価性
前提
はい,今回はこれをやるために記事を書き始めました.番煎じですね.
まあ今回は高校物理の1番最後らへんにチラって書いてあることを,ちゃんと示してみようかな的なあれです.お付き合いくださる方はよろしくおねがいします. とりあえず大前提は,有名なこれらですね.
- (特殊)相対性原理
- 光速度不変の原理
はいでは1つ目から説明したいと思います.これはですね,慣性系での物理は変わらない,つまり,ある慣性系で成り立つ物理法則は,他の慣性系でも成り立つっていうことです
では2つ目.これはこういうのに興味ある人にはめちゃくちゃに有名ですね.でも割と誤解されていることが多いです.この原理が言っているのは,慣性系における光の速度は,光源の速度によらないってことです.
光速度「不変」の原理とは言うものの,別にどの慣性系から見ても光の速さが見ても同じ,とは言ってないんですね.
それじゃあここからまあいろいろ考えてみますか.
以後はある慣性系と,その慣性系から見て,ある方向に速度で等速運動している慣性系を使っていきます.
あと,空間座標に関しては,デカルト座標で記述します.
話を始める前に補足(いや重要)ですが,はの1次式で表されるはずです.なぜなら,系から見た系の速度,系から見た系の速度以外は何も変わらない.
したがって,からへの変換則とからへの変換速の違いは,速度による係数だけです.
だから,からへの変換がの乗によるのなら,からへの変換もの乗によることになり,もとに戻すとの乗と乗が等しいことになります.
これが成立するのは,または,のときである.しかし,もしとすると,係数によっては,有限の値が有限にならないことが起こりうる.
したがって,となり,変換則はの1次関数になるということです.
ではとりあえず,光の速さについての話から.系から見たときの光の速さを,系から見たときの光の速さをとすると,ある定数を用いて,
\begin{align}
c' = \alpha c
\end{align}
と表される.ここで,はにのみよる関数である.
なぜなら,上と同じように,2つの座標系はその速度差のみでしか特徴づけられないからである.また,空間の等方性より,その速度の向きには関係しない.また相対性原理から,逆にいかが成り立ちます.
\begin{align}
c = \alpha c
\end{align}
したがって,より,となります.これで,どの座標系から見ても光の速度が同じだということが示せました.
特殊な場合の変換
よし,これでやっと系から系への変換が求められます.
今まではは適当な方向としていたが,ここから変換を求めるまでは,系は,系から見ての正方向に速さで移動しているとします.
系の原点から光を放ったあと,時間がだけ経ったときに光が到達する位置をとすると,
\begin{align}
x^2 + y^2 + z^2 = (ct)^2
\end{align}
が成り立ちます.これを後のために,
\begin{align}
-(ct)^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 0
\end{align}
と書き換えておきます.また,のとき,で,系と系の原点が一致しているとすると,光速度不変の原理より,系でも系と同じこと,すなわち
\begin{align}
-(ct')^2 + x'^2 + y'^2 + z'^2 = 0
\end{align}
が成り立つ.また,
\begin{align}
x' &= ax + bt \\
y' &= y \\
z' &= z \\
t' &= ex + ft
\end{align}
も成り立ちます.これは,,が,による変更を受けると,はに対して方向にしか動いていないにもかかわらず,やであった点が,やとなるような点に移ってしまうことになるからです.あと係数が1であるのは,を示したときと同じことから言えます.
また,もし,が,による変更を受けると,同様にであるにも関わらず,やとなるような点に移ってしまいます.
それに加えて,系から見て系の原点が方向に速さで運動しているから,の地点では,
\begin{align}
x = vt
\end{align}
が成り立ち,
\begin{align}
0 = x' = ax + bt
\end{align}
も成り立つから,
\begin{align}
av + b = 0
\end{align}
となる.
以上から系から系への変換則は,
\begin{align}
x' &= \frac{x - vt}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}} \\
y' &= y \\
z' &= z \\
t' &= \frac{t - \frac{v^2}{c}x}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}
\end{align}
と求まります.ここまでが特殊な場合(速度の方向が軸の正の向きと決まっている場合)の変換則でした.
一般の場合の変換
ではここから一般の場合について考えてみたいと思います.
まず初めに,系で
\begin{align}
s^2 = -(ct)^2 + x^2 + y^2 + z^2
\end{align}
という物理量を定義したいと思います.同じように,上でを定義します.
ここで上と同じ状況を考えると,
\begin{align}
s^2 = s'^2 = 0
\end{align}
が成り立ちます.そこで,との関係を考えてみたいと思います.
両者は,それぞれ,を用いて定義されていて,,同志もそれぞれが他方の1次式として定義されているから,とには,という関係が成り立つはずです.
そこで,先ほど光速度がどの座標系から見ても等しいことを示したように,もどの座標系から見ても同じ値をとる,すなわち
\begin{align}
s'^2 = s^2
\end{align}
であることが言えます.
ここで4元座標を導入し,その少し一般化した座標変換を
\begin{align}
x'^{\mu} = \sum_{\nu = 0}^{3} {a^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}
\end{align}
によって定義します.
と,ここでEinsteinの記法というものを使います.これを使うのはいちいちシグマ記号を書くのは面倒で,省くのは楽だからで,それ以上でもそれ以下でもないです.
どういうものかというと,単純に同じ添え字が2回現れたら,その添え字について0から3までの和をとるというものです.
つまり,先ほどの式をその記法を用いて書くと,
\begin{align}
x'^{\mu} = {a^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}
\end{align}
となります.
あと,ここからいろんな文字に添え字がついてでてきますが,今は添え字の位置はあまり気にしなくても大丈夫です.
はい,ここである記号を導入します.それは,
\begin{align}
g_{\mu \nu} =
\left\{
\begin{array}{ll}
-1 & (\mu = \nu = 0) \\
1 & (\mu = \nu = 1, 2, 3) \\
0 & (\mu \neq \nu)
\end{array}
\right.
\end{align}
というもので,これを計量と呼びます.まあ何に使うかというと,を書き下すのに使います.
\begin{align}
s^2 = -(ct)^2 + x^2 + y^2 + z^2
\end{align}
なので,
\begin{align}
s^2 &= -(x^0)^2 + \sum_{k=1}^{3} (x^k)^2 \\
&= \sum_{\mu = 0}^3 g_{\mu \mu} (x^{\mu})^2 \\
&= g_{\mu \nu} x^{\mu} x^{\nu}
\end{align}
と表されます.これを,についても計算してやると,
\begin{align}
s'^2 &= g_{\alpha \beta} x'^{\alpha} x'^{\beta} \\
&= g_{\alpha \beta} {a^{\alpha}}_{\mu} {a^{\beta}}_{\nu} x^{\mu} x^{\nu}
\end{align}
となります.
そこで,より,今の2つの式の係数を比較することにより,は
\begin{align}
g_{\mu \nu} = g_{\alpha \beta} {a^{\alpha}}_{\mu} {a^{\beta}}_{\nu}
\end{align}
を満たすことがわかります.
ここでまた,新たに
\begin{align}
g^{\mu \nu} &=
\left\{
\begin{array}{ll}
-1 & (\mu = \nu =0) \\
1 & (\mu = \nu = 1, 2, 3) \\
0 & (\mu \neq \nu)
\end{array}
\right. \\
{\delta^{\mu}}_{\nu} &=
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & (\mu = \nu) \\
0 & (\mu \neq \nu)
\end{array}
\right.
\end{align}
という記号を導入すると,計算よりすぐわかるように,となるから,
\begin{align}
{\delta_{\mu}}_{\lambda} &= g^{\mu \beta} g_{\beta \lambda} \\
&= g^{\mu \beta} g_{\alpha \nu} {a^{\alpha}}_{beta} {a^{\nu}}_{\lambda}
\end{align}
となるから,
\begin{align}
x^{\mu} &= {\delta^{\mu}}_{\lambda} x^{\lambda} \\
&= g_{\alpha \nu} {a^{\alpha}}_{beta} g^{\mu \beta} {a^{\nu}}_{\lambda} x^{\lambda} \\
&= g^{\mu \beta} {a^{\alpha}}_{\beta} g_{\alpha \nu} x'^{\nu}
\end{align}
となります.以上より,からへの変換を,
\begin{align}
x^{\mu} = {(a^{-1})^{\mu}}_{\nu} x'^{\nu}
\end{align}
とすると,
\begin{align}
{(a^{-1})^{\mu}}_{\nu} = g^{\mu \beta} {a^{\alpha}}_{\beta} g_{\alpha \nu}
\end{align}
となります.
上記の変換におけるテンソル計算
スカラー,ベクトル,テンソル
はい,ここから「今までのような変換の時にこういう計算をしますよ」的な説明をします.それで,今からはちょっと定義を述べていきたいと思います.相対論におけるスカラーとかベクトル,テンソルの話です.
スカラーとかベクトルって,まあ聞いたことある人もいると思うし,割と知ってるよ見たいな人もいると思いますが,相対論でのスカラー,ベクトルって高校数学とか高校物理とか出てくるのとちょっと意味が違うんですよね.なので今からそれを説明します.
あ,あと添え字が上についている,下についているっていうのは,その物理量がどういう性質を持っているのかを示すのに使います.だから,以下では説明しませんが,「ここにこういう風に添え字が付くとそういう物理量なんだな」って把握しといてください.
とりあえずスカラーから.
今まで,からへの変換の話をしてきたんですが,その変換をしたときに値が変わらないもののことを,スカラーと呼びます.
つまり,系でだったものが,変換によって系でになったとしても,
\begin{align}
C = C'
\end{align}
となるようなのことを,スカラーと呼びます.
スカラーの例としては,が挙げられます.これはでした.
あと,スカラー場っていうのがあって,これはの関数で,からに変換してとなったとすると,
\begin{align}
C(x) = C'(x')
\end{align}
となるようなもののことです.
では次に反変ベクトルです.
これは,系でだったものが,系でとなるとき,
\begin{align}
A'^{\mu} = {a^{\mu}}_{\nu} A^{\nu}
\end{align}
と変換されるようなもののことです.例としては,4元座標があります.上で見てきたように,となるので,まあそうですねという感じです.
あと,反変ベクトル場は系においてで,系に変換したとき,となるとすると,
\begin{align}
A'^{\mu}(x') = {a^{\mu}}_{\nu} A^{\nu}(x)
\end{align}
を満たすようなもののことです.
次に反変ベクトルです.
これは,系でであるものを,系に変換したときとなるとすると,
\begin{align}
B'_{\mu} = {(a^{-1})^{\nu}}_{\mu} B_{\nu}
\end{align}
となるものです.
あと今までと同様,
\begin{align}
B'_{\mu}(x') = {(a^{-1})^{\nu}}_{\mu} B_{\nu}(x)
\end{align}
を満たすようなものを共変ベクトル場と呼びます.
最後に,テンソルを定義します.系においてであったものが,系においてとなるとき,
\begin{align}
{T'^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s} = {a^{\mu_1}}_{\alpha_1} \cdots {a^{\mu_r}}_{\alpha_r} {(a^{-1})^{\beta_1}}_{\nu_1} {(a^{-1})^{\beta_s}}_{\nu_s} {T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}}_{\beta_1 \cdots \beta_s}
\end{align}
を満たすようなもののことです.
テンソル場も同様に,
\begin{align}
{T'^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s}(x') = {a^{\mu_1}}_{\alpha_1} \cdots {a^{\mu_r}}_{\alpha_r} {(a^{-1})^{\beta_1}}_{\nu_1} {(a^{-1})^{\beta_s}}_{\nu_s} {T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}}_{\beta_1 \cdots \beta_s}(x)
\end{align}
を満たすようなものです.
テンソル積,微分
まずテンソル積について説明します.テンソルであると,テンソルであるを用意する.ここで,を
\begin{align}
{C^{\mu_1 \cdots \mu_{r+t}}}_{\nu_1 \cdots \nu_{s+u}} =
{A^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s} {B^{\mu_{r+1} \cdots \mu_{r+t}}}_{\nu_{s+1} \cdots \nu_{s+u}}
\end{align}
と定義すると,,の変換側より,
\begin{align}
{C'^{\mu_1 \cdots \mu_{r+t}}}_{\nu_1 \cdots \nu_{s+u}} &= {A'^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s} {B'^{\mu_{r+1} \cdots \mu_{r+t}}}_{\nu_{s+1} \cdots \nu_{s+u}} \\
&= {a^{\mu_1}}_{\alpha_1} \cdots {a^{\mu_r}}_{\alpha_r} {(a^{-1})^{\beta_1}}_{\nu_1} \cdots {(a^{-1})^{\beta_s}}_{\nu_s} {A^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}}_{\beta_1 \cdots \beta_s} {a^{\mu_{r+1}}}_{\alpha_{r+1}} \cdots {a^{\mu_{r+t}}}_{\alpha_{r+t}} {(a^{-1})^{\beta_{s+1}}}_{\nu_{s+1}} \cdots {(a^{-1})^{\beta_{s+u}}}_{\nu_{s+u}} {B^{\alpha_{r+1} \cdots \alpha_{r+t}}}_{\beta_{s+1} \cdots \beta_{s+u}} \\
&= {a^{\mu_1}}_{\alpha_1} \cdots {a^{\mu_{r+t}}}_{\alpha_{r+t}} {(a^{-1})^{\beta_1}}_{\nu_1} \cdots {(a^{-1})^{\beta_{s+u}}}_{\nu_{s+u}} {C^{\alpha_1 \cdots \alpha_{r+t}}}_{\beta_1 \cdots \beta_{s+u}}
\end{align}
となるから,はテンソルとなる.このをとのテンソル積と呼びます.
\begin{align}
\partial '_{\nu_0}{A^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s}
= \frac{\partial x^{\beta_0}}{\partial x'^{\nu_0}}
\frac{\partial}{\partial x^{\beta_0}}
{a^{\mu_1}}_{\alpha_1} \cdots {a^{\mu_r}}_{\alpha_r} {(a^{-1})^{\beta_1}}_{\nu_1} {(a^{-1})^{\beta_s}}_{\nu_s} {A^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}}_{\beta_1 \cdots \beta_s}
\end{align}
ここでの変換,より,
\begin{align}
\frac{\partial x^{\beta_0}}{\partial x'^{\nu_0}} = {(a^{-1})^{\beta_0}}_{\nu_0}
\end{align}
となるので,
\begin{align}
\partial '_{\nu_0}{A^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s}
={a^{\mu_1}}_{\alpha_1} \cdots {a^{\mu_r}}_{\alpha_r} {(a^{-1})^{\beta_0}}_{\nu_0} {(a^{-1})^{\beta_1}}_{\nu_1} {(a^{-1})^{\beta_s}}_{\nu_s} \partial_{\beta_0} {A^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}}_{\beta_1 \cdots \beta_s} .
\end{align}
以上より,はテンソルとなる.したがって,相対論においてはは共変ベクトルとみなすことができます.
縮約
ここからは一般的に説明しようとすると,無駄に数式が長くなるだけなので,簡単な場合を用いて説明する.
ここで,のように,上付き添え字と下付き添え字を1つずつ選んで,それを同じ文字として和を取って新たなテンソルを得る操作を,縮約といいます.(これがまたスカラー,ベクトル,テンソルになることは,であることから簡単に証明できます.)
ここで補足ですが,,,はそれぞれテンソル,テンソル,テンソルです.
実際,
\begin{align}
{\delta'^{\mu}}_{\nu} &= {\delta^{\mu}}_{\nu} \\
&= {a^{\mu}}_{\alpha} {(a^{-1})^{\beta}}_{\mu} {\delta^{\alpha}}_{\beta} \\
g'^{\mu \nu} &= g^{\mu \nu} \\
&= {a^{\mu}}_{\alpha} {a^{\nu}}_{\beta} g^{\alpha \beta}
\end{align}
なので,,はそれぞれテンソル,テンソルです.また,であるから,もとなりまmす.
このを使うことによって,反変ベクトルを共変ベクトルに変換することができます.具体的には反変ベクトルに作用させることによって,と反変ベクトルを作ることができます.
つまりベクトルを反変ベクトルで表示させても,共変ベクトルで表示させてもどちらでもいいってことですね.
またこれによって,の大きさの2乗であるを,
\begin{align}
(A)^2 = A_{\mu} A^{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\mu} A^{\nu}
\end{align}
と定義できます.
テンソルの等式
今までに出てきた様々なスカラー,ベクトル,テンソルの等式を考えるとき,それを座標変換させたものも等式になるとすると,左辺も右辺も同種のテンソルでなければなりません.和や差に関しても,同種テンソル同士で同じ成分の和や差を取って,それを新たな成分にするテンソルを作ると,それもまたテンソルになるので,同種のテンソルについてのみ和や差が定義できます.
そこで相対論的に物理法則を記すときは,スカラー,ベクトル,テンソルの等式になると考えられます.
相対論的力学
運動論
まず,相対論的な運動論について考えたいと思います.
とりあえず4元座標を,あるパラメータを用いて表すことを考えたいんですが,どういうパラメータを使うか,です.Newton力学においては時刻を用いていましたが,相対論では空間も時間も混ざり合う(つまり等価)ので,それをそのまま用いるのは適していません.それに時刻は座標変換において不変でないため,その点でもよろしくありません.
そこであるスカラーを用いることになるんですが,スカラーとして,がありました.次々その点において微小変化を考えると,
\begin{align}
(\Delta s)^2 = -(c \Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2
\end{align}
となるが,これは物体の速度がより遅いことより,常に負となります.
負では使いにくいし,また次元が距離の2乗であるのも使いにくい.そこで,
\begin{align}
\Delta T &= \sqrt{ \left( -\frac{\Delta s}{c} \right) ^2} \\
&= \Delta t \sqrt{1 - \left[ \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2 + \left( \frac{\Delta y}{\Delta t} \right)^2 + \left( \frac{\Delta z}{\Delta t} \right)^2 \right]}
\end{align}
を使おうと思います(これはスカラー).ここで,(ただしは物体の速さ)とすると,
\begin{align}
\Delta T = \Delta t \sqrt{1 - \beta^2}
\end{align}
となります.このを使うのにはある程度理由があって,たぶん1番の理由は,物体の静止系では普段使っている時間と一致することにあるんじゃないかなと思います.あとこれは静止系以外では時計の遅れを表すことになります.
このように構成されるを固有時と呼びます.これは先ほど説明した,物体の静止系では通常の時間と変わらないということに由来すると思われます.
これを用いて,4元速度,4元加速度を次のように定義します.
\begin{align}
u^{\mu} &= \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}T} \\
a^{\mu} &= \frac{\mathrm{d}^2x^{\mu}}{\mathrm{d}T^2}
\end{align}
これらは4元座標が反変ベクトルであり,固有時がスカラーであることより,4元速度,4元加速度も反変ベクトルとなります.
力学
ではここからNewton力学を,相対論的に書き換える(今までの座標変換に対して不変な形)ことを考えます.
ここでどのようにするかということですが,その手掛かりとして,とりあえずNewtonの運動方程式を思い出しましょう.
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{p}}{\mathrm{d}T^2} = \boldsymbol{F}
\end{align}
これは,物体の速度が光速に比べて十分に遅い場合は正しいと思われます.実際,現実での運動はだいたいこれを用いて計算することができています.
物体が静止している場合のことを考えると,これは正確に成り立っていると考えられます.そこでそこを踏まえて考えていこうと思います.
初めに4元運動量を次の式で定義します.
\begin{align}
p^{\mu} = mu^{\mu}
\end{align}
物体が静止しているときの運動方程式を考えるために,物体の静止系を考えます.ここで,少し問題が生じます.いままでは系に対して系が等速運動している場合の変換だけを考えてきました.そこで,微小時間で区切って静止系を考えいきます.
Newton力学での運動量は
\begin{align}
\boldsymbol{p} = m \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{x}}{\mathrm{d} t}
\end{align}
で定義され,4元運動量は
\begin{align}
p^{\mu} = m \frac{\mathrm{d} x^{\mu}}{\mathrm{d} T}
\end{align}
と定義されますが,物体の静止系においては,が成り立っているので,のとき,となります.
そこで通常の運動方程式に,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} p'^0}{\mathrm{d} T} = F'^0, \ \ \ \ F'^0 = 0
\end{align}
を付け加えると,運動方程式を以下のように表すことができます.
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} p'^{\mu}}{\mathrm{d} T} = F'^{\mu}
\end{align}
これが相対論的な,つまりどの慣性系においても成り立つ方程式であるとすると,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} p^{\mu}}{\mathrm{d} T} = F^{\mu}
\end{align}
と書ける.ここで,上記の式において,左辺は反変ベクトルであるので,右辺のも反変ベクトルです.この反変ベクトルを4元力と呼びます.ただし4元力は,物体の静止系系において,となるから,4成分のうち独立な成分は3つだけだと考えられます.そこで,まず以下のことを考えます.
\begin{align}
u^{\mu} &= {(a^{-1})^{\mu}}_0 u'^0 \\
&= {(a^{-1})^{\mu}}_0 c
\end{align}
となるので,
\begin{align}
{(a^{-1})^{\mu}}_0 = \frac{u^{mu}}{c}
\end{align}
となります.これでが求まりました.
ここで,であることより,
\begin{align}
F^{\mu} = {(a^{-1})^{\mu}}_{\nu} F'^{nu} = \sum_{k=1}^3 {(a^{-1})^{\mu}}_k F'^k
\end{align}
が成り立ちます.
そこで,
\begin{align}
g_{\mu \nu} {(a^{-1})^{\mu}}_0 F^{\mu} &= \sum_{k=1}^3 g_{\mu \nu}{(a^{-1})^{\nu}}_0 {(a^{-1})^{\mu}}_{k} F'^k \\
&= \sum_{k=1}^3 g_{0k} F'^{k} \\
&= 0
\end{align}
となります.したがって,
\begin{align}
u_{\mu} F^{mu} = 0
\end{align}
となります.
まあなんか割と説明しないといけに事項をすっ飛ばしている気がしますが,そろそろメインの話に移っていきたいと思います.
まず初めにを計算したいと思ます.
\begin{align}
(p)^2 &= p_{\mu} p^{\mu} \\
&= mu_{\mu} mu^{\mu} \\
&= m^2 (u)^2
\end{align}
それで,ここで出てきたですが,これはスカラーで,まじめに計算するのは面倒なので,物体の静止系で計算したいと思います.
\begin{align}
(u)^2 &= u_{\mu} u^{\mu} \\
&= \frac{\mathrm{d} x_{\mu}}{\mathrm{d} T} \frac{\mathrm{d} x^{\mu}}{\mathrm{d} T} \\
&=g_{\mu \nu} \frac{\mathrm{d} x^{\mu}}{\mathrm{d} T} \frac{\mathrm{d} x^{\nu}}{\mathrm{d} T} \\
&= - \left( \frac{\mathrm{d} (cT)}{\mathrm{d} T} \right)^2 \\
&= -c^2
\end{align}
ここでは,物体の静止系では,,のとき,であることを用いました.
以上より,となります.
では次に,の時刻での微分がどうなるかを考えてみます.
実際に計算してみます.
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} p^{k}}{\mathrm{d} t}
= \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} p^{k}}{\mathrm{d} T}
\end{align}
ここで,
\begin{align}
\Delta T = \Delta t \sqrt{1 - \beta ^2}, \ \ \ \ \left( \beta = \frac{v}{c} \right)
\end{align}
より,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} = \sqrt{1 - \beta ^2}
\end{align}
となります.そこで,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} t} = \sqrt{1 - \beta ^2} \boldsymbol{F}
\end{align}
となります.ここで,です.Newton力学との対応を考えると,
\begin{align}
\boldsymbol{K} = \sqrt{1 - \beta ^2} \boldsymbol{F}
\end{align}
と定義されるはNewton力学での力を表すと考えられます.
ここで,であるから,
\begin{align}
-u_0 F^0 &= \sum_{k=1}^3 u_k F^k \\
c \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} T} \frac{\mathrm{d} p^0}{\mathrm {d}T} &= \sum_{k=1}^3 \frac{\mathrm{d} x^k}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} T} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} K_k \\
c \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} T} \frac{\mathrm{d} p^0}{\mathrm{d} t} &= \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} T}\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{K} \\
c \frac{\mathrm{d} p^0}{\mathrm{d} t} &= \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{K}
\end{align}
以上より,はエネルギーを表しているっぽいなーと思います.そこでこれをエネルギーと受け入れることにします.
ここで,であることを考えると,
\begin{align}
cp^0 = c \sqrt{(mc)^2 + \boldsymbol{p} ^2}
\end{align}
となります.はいこれが求めたかったやつですね.ここで静止している物体を考えると,となるので,
\begin{align}
cp^0 = mc^2
\end{align}
となります.これが静止している物体のエネルギーです.つまり,質量をもっている物体はエネルギーを持っているし,質量とエネルギーは等価であるんじゃないか,ということが相対性原理から考えられます.
以上です.お付き合いいただきありがとうございました.