全人類にMT車を持たせてくださいお願いします - 910production アドベントカレンダー用ブログ

日本許すまじ

日本って国、マジで良くないと思いませんか？

これを見て「お、政治的な話か？」と思ったかもしれませんが、もちろんそんな事はありません。ネットで政治の話はしたくないので。じゃあどういうことかって？

とりあえずヒントとしては、アメリカって国も良くないってことです。最近はヨーロッパにもそういう風潮が広まってるらしいですね。誠に良くない。もう信頼できる国って言えば発展途上国とかだけ、なんですかね。

いや、だから何の話だよって？

車の話に決まってんだろ！！！

マジで良くないよ。みんなさあ、なんでAT車ばっかり選んじゃうの？

車と言ったらやっぱりMTでしょ。

最近は（もういうほど最近でもなくなってきた）、AT限定免許っていうのもできたらしくて、免許持っててもMTの運転方法を知らない、資格的にできないっていう人もだいぶ増えてきました。

マジで損してますよ。今から免許取ろうとしてる人は、絶対にMTで取ったほうがいいです。めちゃくちゃに楽しいんで。

アレはもう薬物です。去年自動車学校に通ってた頃は、毎日がとても楽しい日々でした。MT車をあんなに運転できるなんて……。

親はもちろん２人ともAT（正確にはCVT）しか持ってないし、レンタカーも特殊な店舗を除きAT（ほとんどはCVT）しか扱ってないし……。もちろん学生が車を持つなんて不可能（不可能ではないですが、コンテンツに金を落としたり、親の負担を軽減したいとか思うとマジで無理）ですし、それも京都とか車がなくても生活できるところは特に。

生きにくいです。

まあ自分で稼ぐようになったら、絶対にMT買って乗り回してやるぞ！

これが僕の思いです、はい。

こんなこと言っといてなんですが、免許取得に消極的、MTを運転してみたいなんて露にも思わない人は、もし取るとしてもAT限定にしといたほうがいいです。取得時間も、取得に必要な金額も減るので。時間、大事ですからね。

ただ、「少しでもMTを運転してみたい！」、「運転、楽しみだなあ」って人にはMTをおすすめします。

僕も最初は、「MTなんてどうせ乗らんけど、人生に１度くらいはMT運転しときたいな～」程度だったんで。

実際自動車学校に通い始めて沼にハマりました。マジで人生狂わされました。

でもそこまでディスアドがないので、ハマり得です！（ただ運転変わってくれる人が減ったり、選べる車種が減ったりします）

ただ、僕の身の回りの人げなら、僕は好んで運転変わるので気にしないでください。

はい、ここまでが無駄に長い前置きです。では本題に入りたいと思います。

エネルギーと質量の等価性

前提

はい，今回はこれをやるために記事を書き始めました． $n$ 番煎じですね．

まあ今回は高校物理の１番最後らへんにチラって書いてあることを，ちゃんと示してみようかな的なあれです．お付き合いくださる方はよろしくおねがいします．とりあえず大前提は，有名なこれらですね．

（特殊）相対性原理
光速度不変の原理

はいでは１つ目から説明したいと思います．これはですね，慣性系での物理は変わらない，つまり，ある慣性系で成り立つ物理法則は，他の慣性系でも成り立つっていうことです

では２つ目．これはこういうのに興味ある人にはめちゃくちゃに有名ですね．でも割と誤解されていることが多いです．この原理が言っているのは，慣性系における光の速度は，光源の速度によらないってことです．
光速度「不変」の原理とは言うものの，別にどの慣性系から見ても光の速さが見ても同じ，とは言ってないんですね．

それじゃあここからまあいろいろ考えてみますか．

以後はある慣性系 $S(t, x, y, z)$ と，その慣性系から見て，ある方向に速度 $v$ で等速運動している慣性系 $S'(t', x', y', z')$ を使っていきます．

あと，空間座標に関しては，デカルト座標で記述します．

話を始める前に補足（いや重要）ですが， $(t', x', y', z')$ は $(t, x, y, z)$ の１次式で表されるはずです．なぜなら， $S$ 系から見た $S'$ 系の速度， $S'$ 系から見た $S$ 系の速度以外は何も変わらない．

したがって， $S(t, x, y, z)$ から $S'(t', x', y', z')$ への変換則と $S'(t', x', y', z')$ から $S(t, x, y, z)$ への変換速の違いは，速度による係数だけです．

だから， $S(t, x, y, z)$ から $S'(t', x', y', z')$ への変換が $(t, x, y, z)$ の $n$ 乗によるのなら， $S'(t', x', y', z')$ から $S(t, x, y, z)$ への変換も $(t', x', y', z')$ の $n$ 乗によることになり，もとに戻すと $(t, x, y, z)$ の $n$ 乗と $n^2$ 乗が等しいことになります．

これが成立するのは， $n=1$ または， $n=\infty$ のときである．しかし，もし $n=\infty$ とすると，係数によっては，有限の値が有限にならないことが起こりうる．

したがって， $n=1$ となり，変換則は $(t, x, y, z)$ の１次関数になるということです．

ではとりあえず，光の速さについての話から． $S$ 系から見たときの光の速さを $c$ ， $S'$ 系から見たときの光の速さを $c'$ とすると，ある定数 $\alpha$ を用いて，

\begin{align}
c' = \alpha c
\end{align}

と表される．ここで， $\alpha$ は $|v|$ にのみよる関数である．

なぜなら，上と同じように，２つの座標系はその速度差のみでしか特徴づけられないからである．また，空間の等方性より，その速度の向きには関係しない．また相対性原理から，逆にいかが成り立ちます．

\begin{align}
c = \alpha c
\end{align}

したがって， $c=c$ より， $\alpha = 1$ となります．これで，どの座標系から見ても光の速度が同じだということが示せました．

特殊な場合の変換

よし，これでやっと $S$ 系から $S'$ 系への変換が求められます．

今までは $v$ は適当な方向としていたが，ここから変換を求めるまでは， $S'$ 系は， $S$ 系から見て $x$ の正方向に速さ $v$ で移動しているとします．

$S$ 系の原点から光を放ったあと，時間が $t$ だけ経ったときに光が到達する位置を $(x, y, z)$ とすると，

\begin{align}
x^2 + y^2 + z^2 = (ct)^2
\end{align}

が成り立ちます．これを後のために，

\begin{align}
-(ct)^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 0
\end{align}

と書き換えておきます．また， $t=0$ のとき， $t'=0$ で， $S$ 系と $S'$ 系の原点が一致しているとすると，光速度不変の原理より， $S'$ 系でも $S$ 系と同じこと，すなわち

\begin{align}
-(ct')^2 + x'^2 + y'^2 + z'^2 = 0
\end{align}

が成り立つ．また，

\begin{align}
x' &= ax + bt \\
y' &= y \\
z' &= z \\
t' &= ex + ft
\end{align}

も成り立ちます．これは， $y'$ ， $z'$ が $t$ ， $x$ による変更を受けると， $S'$ は $S$ に対して $x$ 方向にしか動いていないにもかかわらず， $y=0$ や $z=0$ であった点が， $y' \neq 0$ や $z' \neq 0$ となるような点に移ってしまうことになるからです．あと係数が１であるのは， $c=c'$ を示したときと同じことから言えます．

また，もし $t'$ ， $x'$ が $y$ ， $z$ による変更を受けると，同様に $t = x = 0$ であるにも関わらず， $t' \neq 0$ や $x' \neq 0$ となるような点に移ってしまいます．

それに加えて， $S$ 系から見て $S'$ 系の原点が $x$ 方向に速さ $v$ で運動しているから， $x'=0$ の地点では，

\begin{align}
x = vt
\end{align}

が成り立ち，

\begin{align}
0 = x' = ax + bt
\end{align}

も成り立つから，

\begin{align}
av + b = 0
\end{align}

となる．

以上から $S$ 系から $S'$ 系への変換則は，

\begin{align}
x' &= \frac{x - vt}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}} \\
y' &= y \\
z' &= z \\
t' &= \frac{t - \frac{v^2}{c}x}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}
\end{align}

と求まります．ここまでが特殊な場合（速度の方向が $x$ 軸の正の向きと決まっている場合）の変換則でした．

一般の場合の変換

ではここから一般の場合について考えてみたいと思います．

まず初めに， $S$ 系で

\begin{align}
s^2 = -(ct)^2 + x^2 + y^2 + z^2
\end{align}

という物理量 $s^2$ を定義したいと思います．同じように， $S'$ 上で $s'^2$ を定義します．

ここで上と同じ状況を考えると，

\begin{align}
s^2 = s'^2 = 0
\end{align}

が成り立ちます．そこで， $s^2$ と $s'^2$ の関係を考えてみたいと思います．
両者は，それぞれ $(t, x, y, z)$ ， $(t', x', y', z')$ を用いて定義されていて， $(t, x, y, z)$ ， $(t', x', y', z')$ 同志もそれぞれが他方の1次式として定義されているから， $s^2:$ と $s'^2$ には， $s'^2 = \alpha s^2$ という関係が成り立つはずです．

そこで，先ほど光速度がどの座標系から見ても等しいことを示したように， $s^2$ もどの座標系から見ても同じ値をとる，すなわち

\begin{align}
s'^2 = s^2
\end{align}

であることが言えます．
ここで４元座標 $x^{\mu} = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z)$ を導入し，その少し一般化した座標変換を

\begin{align}
x'^{\mu} = \sum_{\nu = 0}^{3} {a^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}
\end{align}

によって定義します．

と，ここでEinsteinの記法というものを使います．これを使うのはいちいちシグマ記号を書くのは面倒で，省くのは楽だからで，それ以上でもそれ以下でもないです．

どういうものかというと，単純に同じ添え字が２回現れたら，その添え字について０から３までの和をとるというものです．

つまり，先ほどの式をその記法を用いて書くと，

\begin{align}
x'^{\mu} = {a^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}
\end{align}

となります．

あと，ここからいろんな文字に添え字がついてでてきますが，今は添え字の位置はあまり気にしなくても大丈夫です．

はい，ここである記号を導入します．それは，

\begin{align}
g_{\mu \nu} =
\left\{
\begin{array}{ll}
-1 & (\mu = \nu = 0) \\
1 & (\mu = \nu = 1, 2, 3) \\
0 & (\mu \neq \nu)
\end{array}
\right.
\end{align}

というもので，これを計量と呼びます．まあ何に使うかというと， $s^2$ を書き下すのに使います．

\begin{align}
s^2 = -(ct)^2 + x^2 + y^2 + z^2
\end{align}

なので，

\begin{align}
s^2 &= -(x^0)^2 + \sum_{k=1}^{3} (x^k)^2 \\
&= \sum_{\mu = 0}^3 g_{\mu \mu} (x^{\mu})^2 \\
&= g_{\mu \nu} x^{\mu} x^{\nu}
\end{align}

と表されます．これを， $s'^2$ についても計算してやると，

\begin{align}
s'^2 &= g_{\alpha \beta} x'^{\alpha} x'^{\beta} \\
&= g_{\alpha \beta} {a^{\alpha}}_{\mu} {a^{\beta}}_{\nu} x^{\mu} x^{\nu}
\end{align}

となります．

そこで， $s^2 = s'^2$ より，今の２つの式の係数を比較することにより， ${a^{\mu}}_{\nu}$ は

\begin{align}
g_{\mu \nu} = g_{\alpha \beta} {a^{\alpha}}_{\mu} {a^{\beta}}_{\nu}
\end{align}

を満たすことがわかります．

ここでまた，新たに

\begin{align}
g^{\mu \nu} &=
\left\{
\begin{array}{ll}
-1 & (\mu = \nu =0) \\
1 & (\mu = \nu = 1, 2, 3) \\
0 & (\mu \neq \nu)
\end{array}
\right. \\
{\delta^{\mu}}_{\nu} &=
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & (\mu = \nu) \\
0 & (\mu \neq \nu)
\end{array}
\right.
\end{align}

という記号を導入すると，計算よりすぐわかるように， $g^{\mu \nu} g_{\nu \lambda} = {\delta^{\mu}}_{\lambda}$ となるから，

\begin{align}
{\delta_{\mu}}_{\lambda} &= g^{\mu \beta} g_{\beta \lambda} \\
&= g^{\mu \beta} g_{\alpha \nu} {a^{\alpha}}_{beta} {a^{\nu}}_{\lambda}
\end{align}

となるから，

\begin{align}
x^{\mu} &= {\delta^{\mu}}_{\lambda} x^{\lambda} \\
&= g_{\alpha \nu} {a^{\alpha}}_{beta} g^{\mu \beta} {a^{\nu}}_{\lambda} x^{\lambda} \\
&= g^{\mu \beta} {a^{\alpha}}_{\beta} g_{\alpha \nu} x'^{\nu}
\end{align}

となります．以上より， $x'$ から $x$ への変換を，

\begin{align}
x^{\mu} = {(a^{-1})^{\mu}}_{\nu} x'^{\nu}
\end{align}

とすると，

\begin{align}
{(a^{-1})^{\mu}}_{\nu} = g^{\mu \beta} {a^{\alpha}}_{\beta} g_{\alpha \nu}
\end{align}

となります．

上記の変換におけるテンソル計算

スカラー，ベクトル，テンソル

はい，ここから「今までのような変換の時にこういう計算をしますよ」的な説明をします．それで，今からはちょっと定義を述べていきたいと思います．相対論におけるスカラーとかベクトル，テンソルの話です．

スカラーとかベクトルって，まあ聞いたことある人もいると思うし，割と知ってるよ見たいな人もいると思いますが，相対論でのスカラー，ベクトルって高校数学とか高校物理とか出てくるのとちょっと意味が違うんですよね．なので今からそれを説明します．

あ，あと添え字が上についている，下についているっていうのは，その物理量がどういう性質を持っているのかを示すのに使います．だから，以下では説明しませんが，「ここにこういう風に添え字が付くとそういう物理量なんだな」って把握しといてください．

とりあえずスカラーから．

今まで， $x$ から $x'$ への変換の話をしてきたんですが，その変換をしたときに値が変わらないもののことを，スカラーと呼びます．

つまり， $S$ 系で $C$ だったものが，変換によって $S'$ 系で $C'$ になったとしても，

\begin{align}
C = C'
\end{align}

となるような $C$ のことを，スカラーと呼びます．

スカラーの例としては， $s^2$ が挙げられます．これは $s^2 = s'^2$ でした．

あと，スカラー場っていうのがあって，これは $x$ の関数 $C(x)$ で， $x$ から $x'$ に変換して $C'(x')$ となったとすると，

\begin{align}
C(x) = C'(x')
\end{align}

となるようなもののことです．

では次に反変ベクトルです．

これは， $S$ 系で $A^{\mu}$ だったものが， $S'$ 系で $A'^{\mu}$ となるとき，

\begin{align}
A'^{\mu} = {a^{\mu}}_{\nu} A^{\nu}
\end{align}

と変換されるようなもののことです．例としては，４元座標 $x^{\mu}$ があります．上で見てきたように， $x'^{\mu} = {a^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}$ となるので，まあそうですねという感じです．

あと，反変ベクトル場は $S$ 系において $A^{\mu}(x)$ で， $S'$ 系に変換したとき， $A'^{\mu}(x')$ となるとすると，

\begin{align}
A'^{\mu}(x') = {a^{\mu}}_{\nu} A^{\nu}(x)
\end{align}

を満たすようなもののことです．

次に反変ベクトルです．

これは， $S$ 系で $B_{\mu}$ であるものを， $S'$ 系に変換したとき $B'_{\mu}$ となるとすると，

\begin{align}
B'_{\mu} = {(a^{-1})^{\nu}}_{\mu} B_{\nu}
\end{align}

となるものです．

あと今までと同様，

\begin{align}
B'_{\mu}(x') = {(a^{-1})^{\nu}}_{\mu} B_{\nu}(x)
\end{align}

を満たすようなものを共変ベクトル場と呼びます．

最後に， $(r, s)$ テンソルを定義します． $S$ 系において ${T^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s}$ であったものが， $S'$ 系において ${T'^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s}$ となるとき，

\begin{align}
{T'^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s} = {a^{\mu_1}}_{\alpha_1} \cdots {a^{\mu_r}}_{\alpha_r} {(a^{-1})^{\beta_1}}_{\nu_1} {(a^{-1})^{\beta_s}}_{\nu_s} {T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}}_{\beta_1 \cdots \beta_s}
\end{align}

を満たすようなもののことです．

$(r, s)$ テンソル場も同様に，

\begin{align}
{T'^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s}(x') = {a^{\mu_1}}_{\alpha_1} \cdots {a^{\mu_r}}_{\alpha_r} {(a^{-1})^{\beta_1}}_{\nu_1} {(a^{-1})^{\beta_s}}_{\nu_s} {T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}}_{\beta_1 \cdots \beta_s}(x)
\end{align}

を満たすようなものです．

テンソル積，微分

まずテンソル積について説明します． $(r, s)$ テンソルである ${A^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s}$ と， $(t, u)$ テンソルである ${B^{\mu_{r+1} \cdots \mu_{r+t}}}_{\nu_{s+1} \cdots \nu_{s+u}}$ を用意する．ここで， ${C^{\mu_1 \cdots \mu_{r+t}}}_{\nu_1 \cdots \nu_{s+u}}$ を

\begin{align}
{C^{\mu_1 \cdots \mu_{r+t}}}_{\nu_1 \cdots \nu_{s+u}} =
{A^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s} {B^{\mu_{r+1} \cdots \mu_{r+t}}}_{\nu_{s+1} \cdots \nu_{s+u}}
\end{align}

と定義すると， ${A^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s}$ ， ${B^{\mu_{r+1} \cdots \mu_{r+t}}}_{\nu_{s+1} \cdots \nu_{s+u}}$ の変換側より，

\begin{align}
{C'^{\mu_1 \cdots \mu_{r+t}}}_{\nu_1 \cdots \nu_{s+u}} &= {A'^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s} {B'^{\mu_{r+1} \cdots \mu_{r+t}}}_{\nu_{s+1} \cdots \nu_{s+u}} \\
&= {a^{\mu_1}}_{\alpha_1} \cdots {a^{\mu_r}}_{\alpha_r} {(a^{-1})^{\beta_1}}_{\nu_1} \cdots {(a^{-1})^{\beta_s}}_{\nu_s} {A^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}}_{\beta_1 \cdots \beta_s} {a^{\mu_{r+1}}}_{\alpha_{r+1}} \cdots {a^{\mu_{r+t}}}_{\alpha_{r+t}} {(a^{-1})^{\beta_{s+1}}}_{\nu_{s+1}} \cdots {(a^{-1})^{\beta_{s+u}}}_{\nu_{s+u}} {B^{\alpha_{r+1} \cdots \alpha_{r+t}}}_{\beta_{s+1} \cdots \beta_{s+u}} \\
&= {a^{\mu_1}}_{\alpha_1} \cdots {a^{\mu_{r+t}}}_{\alpha_{r+t}} {(a^{-1})^{\beta_1}}_{\nu_1} \cdots {(a^{-1})^{\beta_{s+u}}}_{\nu_{s+u}} {C^{\alpha_1 \cdots \alpha_{r+t}}}_{\beta_1 \cdots \beta_{s+u}}
\end{align}

となるから， $C$ は $(r+t, s+u)$ テンソルとなる．この $C$ を $A$ と $B$ のテンソル積と呼びます．

また微分演算子 $\partial_{\nu} = \partial / \partial x^{\nu}$ を $A$ に作用させたもの $\partial_{nu_0} {A^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s}$ を考えると，

\begin{align}
\partial '_{\nu_0}{A^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s}
= \frac{\partial x^{\beta_0}}{\partial x'^{\nu_0}}
\frac{\partial}{\partial x^{\beta_0}}
{a^{\mu_1}}_{\alpha_1} \cdots {a^{\mu_r}}_{\alpha_r} {(a^{-1})^{\beta_1}}_{\nu_1} {(a^{-1})^{\beta_s}}_{\nu_s} {A^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}}_{\beta_1 \cdots \beta_s}
\end{align}

ここで $x^{\mu}$ の変換， $x^{\mu} = {(a^{-1})^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}$ より，

\begin{align}
\frac{\partial x^{\beta_0}}{\partial x'^{\nu_0}} = {(a^{-1})^{\beta_0}}_{\nu_0}
\end{align}

となるので，

\begin{align}
\partial '_{\nu_0}{A^{\mu_1 \cdots \mu_r}}_{\nu_1 \cdots \nu_s}
={a^{\mu_1}}_{\alpha_1} \cdots {a^{\mu_r}}_{\alpha_r} {(a^{-1})^{\beta_0}}_{\nu_0} {(a^{-1})^{\beta_1}}_{\nu_1} {(a^{-1})^{\beta_s}}_{\nu_s} \partial_{\beta_0} {A^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}}_{\beta_1 \cdots \beta_s} ．
\end{align}

以上より， $\partial_{\mu} A$ は $(r, s+1)$ テンソルとなる．したがって，相対論においては $\partial_{\mu}$ は共変ベクトルとみなすことができます．

縮約

ここからは一般的に説明しようとすると，無駄に数式が長くなるだけなので，簡単な場合を用いて説明する．

まず $(2, 1)$ テンソル ${A^{\mu \nu}}_{\lambda}$ ， $(0, 2)$ テンソル $B_{\alpha \beta}$ のテンソル積 ${C^{\mu \nu}}_{\lambda \alpha \beta}$ を用意する．

ここで， ${C^{\mu \nu}}_{\mu \alpha \beta}$ のように，上付き添え字と下付き添え字を１つずつ選んで，それを同じ文字として和を取って新たなテンソルを得る操作を，縮約といいます．（これがまたスカラー，ベクトル，テンソルになることは， ${a^{\mu}}_{\alpha} {(a^{-1})^{\alpha}}_{\mu}=1$ であることから簡単に証明できます．）

ここで補足ですが， ${\delta^{\mu}}_{\nu}$ ， $g^{\mu \nu}$ ， $g_{\mu \nu}$ はそれぞれ $(1, 1)$ テンソル， $(2, 0)$ テンソル， $(0, 2)$ テンソルです．

実際，

\begin{align}
{\delta'^{\mu}}_{\nu} &= {\delta^{\mu}}_{\nu} \\
&= {a^{\mu}}_{\alpha} {(a^{-1})^{\beta}}_{\mu} {\delta^{\alpha}}_{\beta} \\
g'^{\mu \nu} &= g^{\mu \nu} \\
&= {a^{\mu}}_{\alpha} {a^{\nu}}_{\beta} g^{\alpha \beta}
\end{align}

なので， ${\delta^{\mu}}_{\nu}$ ， $g^{\mu \nu}$ はそれぞれ $(1, 1)$ テンソル， $(2, 0)$ テンソルです．また， $g^{\mu \nu} g_{\nu \lambda} = {\delta^{\mu}}_{\nu}$ であるから， $g_{\mu \nu}$ も $(0, 2)$ となりまｍす．

この $g_{\mu \nu}$ を使うことによって，反変ベクトルを共変ベクトルに変換することができます．具体的には反変ベクトル $A^{\mu}$ に $g_{\mu \nu}$ 作用させることによって， $A_{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\nu}$ と反変ベクトルを作ることができます．

つまりベクトルを反変ベクトルで表示させても，共変ベクトルで表示させてもどちらでもいいってことですね．

またこれによって， $A$ の大きさの２乗である $(A)^2$ を，

\begin{align}
(A)^2 = A_{\mu} A^{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\mu} A^{\nu}
\end{align}

と定義できます．

テンソルの等式

今までに出てきた様々なスカラー，ベクトル，テンソルの等式を考えるとき，それを座標変換させたものも等式になるとすると，左辺も右辺も同種のテンソルでなければなりません．和や差に関しても，同種テンソル同士で同じ成分の和や差を取って，それを新たな成分にするテンソルを作ると，それもまたテンソルになるので，同種のテンソルについてのみ和や差が定義できます．

そこで相対論的に物理法則を記すときは，スカラー，ベクトル，テンソルの等式になると考えられます．

相対論的力学

運動論

まず，相対論的な運動論について考えたいと思います．

とりあえず４元座標を，あるパラメータを用いて表すことを考えたいんですが，どういうパラメータを使うか，です．Newton力学においては時刻 $t$ を用いていましたが，相対論では空間も時間も混ざり合う（つまり等価）ので，それをそのまま用いるのは適していません．それに時刻 $t$ は座標変換において不変でないため，その点でもよろしくありません．

そこであるスカラーを用いることになるんですが，スカラーとして， $s^2$ がありました．次々その点において微小変化 $\Delta s^2$ を考えると，

\begin{align}
(\Delta s)^2 = -(c \Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2
\end{align}

となるが，これは物体の速度が $c$ より遅いことより，常に負となります．

負では使いにくいし，また次元が距離の２乗であるのも使いにくい．そこで，

\begin{align}
\Delta T &= \sqrt{ \left( -\frac{\Delta s}{c} \right) ^2} \\
&= \Delta t \sqrt{1 - \left[ \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2 + \left( \frac{\Delta y}{\Delta t} \right)^2 + \left( \frac{\Delta z}{\Delta t} \right)^2 \right]}
\end{align}

を使おうと思います（これはスカラー）．ここで， $\beta = v/c$ （ただし $v$ は物体の速さ）とすると，

\begin{align}
\Delta T = \Delta t \sqrt{1 - \beta^2}
\end{align}

となります．この $\Delta T$ を使うのにはある程度理由があって，たぶん１番の理由は，物体の静止系では普段使っている時間と一致することにあるんじゃないかなと思います．あとこれは静止系以外では時計の遅れを表すことになります．

このように構成される $T$ を固有時と呼びます．これは先ほど説明した，物体の静止系では通常の時間と変わらないということに由来すると思われます．

これを用いて，４元速度 $u^{\mu}$ ，４元加速度 $a^{\mu}$ を次のように定義します．

\begin{align}
u^{\mu} &= \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}T} \\
a^{\mu} &= \frac{\mathrm{d}^2x^{\mu}}{\mathrm{d}T^2}
\end{align}

これらは４元座標が反変ベクトルであり，固有時がスカラーであることより，４元速度，４元加速度も反変ベクトルとなります．

力学

ではここからNewton力学を，相対論的に書き換える（今までの座標変換に対して不変な形）ことを考えます．

ここでどのようにするかということですが，その手掛かりとして，とりあえずNewtonの運動方程式を思い出しましょう．

\begin{align}
\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{p}}{\mathrm{d}T^2} = \boldsymbol{F}
\end{align}

これは，物体の速度が光速に比べて十分に遅い場合は正しいと思われます．実際，現実での運動はだいたいこれを用いて計算することができています．

物体が静止している場合のことを考えると，これは正確に成り立っていると考えられます．そこでそこを踏まえて考えていこうと思います．

初めに４元運動量 $p^{\mu}$ を次の式で定義します．

\begin{align}
p^{\mu} = mu^{\mu}
\end{align}

物体が静止しているときの運動方程式を考えるために，物体の静止系を考えます．ここで，少し問題が生じます．いままでは $S$ 系に対して $S'$ 系が等速運動している場合の変換だけを考えてきました．そこで，微小時間で区切って静止系を考えいきます．

Newton力学での運動量は

\begin{align}
\boldsymbol{p} = m \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{x}}{\mathrm{d} t}
\end{align}

で定義され，4元運動量は

\begin{align}
p^{\mu} = m \frac{\mathrm{d} x^{\mu}}{\mathrm{d} T}
\end{align}

と定義されますが，物体の静止系 $S'$ においては， $\Delta T = \Delta t'$ が成り立っているので， $k=1, 2, 3$ のとき， $p'^k = p'_k = F'^k$ となります．

そこで通常の運動方程式に，

\begin{align}
\frac{\mathrm{d} p'^0}{\mathrm{d} T} = F'^0, \ \ \ \ F'^0 = 0
\end{align}

を付け加えると，運動方程式を以下のように表すことができます．

\begin{align}
\frac{\mathrm{d} p'^{\mu}}{\mathrm{d} T} = F'^{\mu}
\end{align}

これが相対論的な，つまりどの慣性系においても成り立つ方程式であるとすると，

\begin{align}
\frac{\mathrm{d} p^{\mu}}{\mathrm{d} T} = F^{\mu}
\end{align}

と書ける．ここで，上記の式において，左辺は反変ベクトルであるので，右辺の $F^{\mu}$ も反変ベクトルです．この反変ベクトルを４元力と呼びます．ただし４元力は，物体の静止系 $S'$ 系において， $F'^0 = 0$ となるから，４成分のうち独立な成分は３つだけだと考えられます．そこで，まず以下のことを考えます．

\begin{align}
u^{\mu} &= {(a^{-1})^{\mu}}_0 u'^0 \\
&= {(a^{-1})^{\mu}}_0 c
\end{align}

となるので，

\begin{align}
{(a^{-1})^{\mu}}_0 = \frac{u^{mu}}{c}
\end{align}

となります．これで ${(a^{-1})^{\mu}}_0$ が求まりました．

ここで， $F'^0=0$ であることより，

\begin{align}
F^{\mu} = {(a^{-1})^{\mu}}_{\nu} F'^{nu} = \sum_{k=1}^3 {(a^{-1})^{\mu}}_k F'^k
\end{align}

が成り立ちます．

そこで，

\begin{align}
g_{\mu \nu} {(a^{-1})^{\mu}}_0 F^{\mu} &= \sum_{k=1}^3 g_{\mu \nu}{(a^{-1})^{\nu}}_0 {(a^{-1})^{\mu}}_{k} F'^k \\
&= \sum_{k=1}^3 g_{0k} F'^{k} \\
&= 0
\end{align}

となります．したがって，

\begin{align}
u_{\mu} F^{mu} = 0
\end{align}

となります．

まあなんか割と説明しないといけに事項をすっ飛ばしている気がしますが，そろそろメインの話に移っていきたいと思います．

まず初めに $(p)^2$ を計算したいと思ます．

\begin{align}
(p)^2 &= p_{\mu} p^{\mu} \\
&= mu_{\mu} mu^{\mu} \\
&= m^2 (u)^2
\end{align}

それで，ここで出てきた $(u)^2$ ですが，これはスカラーで，まじめに計算するのは面倒なので，物体の静止系で計算したいと思います．

\begin{align}
(u)^2 &= u_{\mu} u^{\mu} \\
&= \frac{\mathrm{d} x_{\mu}}{\mathrm{d} T} \frac{\mathrm{d} x^{\mu}}{\mathrm{d} T} \\
&=g_{\mu \nu} \frac{\mathrm{d} x^{\mu}}{\mathrm{d} T} \frac{\mathrm{d} x^{\nu}}{\mathrm{d} T} \\
&= - \left( \frac{\mathrm{d} (cT)}{\mathrm{d} T} \right)^2 \\
&= -c^2
\end{align}

ここでは，物体の静止系では， $T=t$ ， $k=1, 2, 3$ のとき， $x^k = 0$ であることを用いました．

以上より， $(p)^2 = -(mc)^2$ となります．

では次に， $\boldsymbol{p} = (p^1, p^2, p^3)^T$ の時刻 $t$ での微分がどうなるかを考えてみます．

実際に計算してみます．

\begin{align}
\frac{\mathrm{d} p^{k}}{\mathrm{d} t}
= \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} p^{k}}{\mathrm{d} T}
\end{align}

ここで，

\begin{align}
\Delta T = \Delta t \sqrt{1 - \beta ^2}, \ \ \ \ \left( \beta = \frac{v}{c} \right)
\end{align}

より，

\begin{align}
\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} = \sqrt{1 - \beta ^2}
\end{align}

となります．そこで，

\begin{align}
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} t} = \sqrt{1 - \beta ^2} \boldsymbol{F}
\end{align}

となります．ここで， $\boldsymbol{F} = (F^1, F^2, F^3)^T$ です．Newton力学との対応を考えると，

\begin{align}
\boldsymbol{K} = \sqrt{1 - \beta ^2} \boldsymbol{F}
\end{align}

と定義される $\boldsymbol{K}$ はNewton力学での力を表すと考えられます．

ここで， $u_{\mu} F^{\mu} = 0$ であるから，

\begin{align}
-u_0 F^0 &= \sum_{k=1}^3 u_k F^k \\
c \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} T} \frac{\mathrm{d} p^0}{\mathrm {d}T} &= \sum_{k=1}^3 \frac{\mathrm{d} x^k}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} T} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} K_k \\
c \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} T} \frac{\mathrm{d} p^0}{\mathrm{d} t} &= \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} T}\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{K} \\
c \frac{\mathrm{d} p^0}{\mathrm{d} t} &= \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{K}
\end{align}

以上より， $cp^0$ はエネルギーを表しているっぽいなーと思います．そこでこれをエネルギーと受け入れることにします．