Einstein方程式 - 910production アドベントカレンダー用ブログ

910production アドカレ2022冬、10日目（12/22）担当のK-Enterです。

自分でブログを書くということをあまりしないので、毎回どうやって始めたもんかなと迷います。なのでいきなり本題に入ります。

自分の中で勝手に、910のアドカレではこういうのしか書かないと決めているので、今回も今までと同じようなことをします。*1今回は前回の記事の続き、というよりも途中まで同じことを書くと思います。

今回の題材です。

なんか左上に $\newcommand{\ddif}{{\rm d}}$

\begin{align}
R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R = \kappa
\end{align}

みたいなこと書いてあると思うですが、これは恐らくEinstein方程式

\begin{align}
R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R = \kappa T_{\mu \nu}
\end{align}

と書いてあるんだと思います。今回はこの式を、いくつかの原理とNewton重力からの類推から導出してみたいと思います。

なお特殊相対論のテンソル、質量とエネルギーの等価性、エネルギー運動量テンソルの知識は仮定します。前者２つについては2019年の僕の記事に書いてあるので、興味のある方はそちらを読まれても良いかもしれません。（だいぶ分かりにくいと思いますが……。）

今回は下書きとしてまずTeX打ちをしていたのですが、分量がものすごいことになってしまい、ブログ用に書き直すのが面倒になったので、PDFをそのまま貼り付けたいと思います。許して下さい。

数学的な話に立ち入りたくなかったのと、局所慣性系を基準にしたかったということから、通常とは異なる定義を採用してしまい、おかしいところがあるかもしれません。

そうでなくても、誤りや不明点があった場合はK-Enter (@K_EnterExit) / Twitterまでお願いします。

*1:ここまではなにか原理みたいなものを認めて、そこから理論を作っていくようなものばかり扱ったのですが、そういうことができるものがもう無くなってきていて、今後どうしたもんかなと思っています。